Restaurare un dipinto usando la matematica

Con il calcolo delle variazioni si può individuare l'energia minima di un'immagine e sfruttarla per ricostruire un dipinto distrutto o rovinato nel modo più fedele possibile

riccardo

Il calcolo delle variazioni è un’area della matematica che può essere applicata alla ricostruzione di immagini deteriorate, per esempio per aiutare il restauro di affreschi danneggiati. Crediti immagine: Riccardo Cristoferi

RICERCANDO ALL’ESTERO – “La matematica è bellissima, è il modo in cui riusciamo a descrivere il mondo che ci circonda. Perché la utilizziamo? È una bella domanda, a cui molti cercano di rispondere e c’è anche un bell’articolo a riguardo (L’irragionevole efficacia della matematica). Per me fare matematica è come essere un bambino in un parco giochi: puoi fare qualsiasi cosa ci sia in giro, sei libero di essere curioso e di farti tutte le domande che vuoi”.

Nome: Riccardo Cristoferi
Età: 29 anni
Nato a: Zevio (VR)
Vivo a: Pittsburgh (Stati Uniti)
Dottorato in: Matematica (Trieste)
Ricerca: Alla ricerca di minimi: dalla teoria delle immagini alla scienza dei materiali
Istituto: Center for Nonlinear Analysis, Mellon College of Science (Pittsburgh)
Interessi: viaggiare, leggere, andare ai concerti
Di Pittsburgh mi piace: è una cittadina tranquilla
Di Pittsburgh non mi piace: non ha un centro storico dove girare
Pensiero: Per me c’è solo il viaggio su strade che hanno un cuore, qualsiasi strada abbia un cuore (Carlos Castaneda, Gli insegnamenti di Don Juan)

In cosa consiste la ricerca dei minimi?
L’idea fisica che sta alla base è che quando in natura c’è un cambiamento, questo avviene nel miglior modo possibile, cioè utilizzando il miglior quantitativo di energia possibile. Immaginiamo di voler collegare due punti con un raggio di luce. Tra tutti i percorsi possibili, la luce sceglierà quello dritto e il motivo euristico è che la natura vuole sempre minimizzare il quantitativo di energia che utilizza per fare qualcosa. Diciamo che è pigra.

La versione matematica di questo principio è il calcolo delle variazioni, un’enorme area di studio nata nel 1700 che si occupa di problemi di ottimizzazione e di trovare il minimo (o il massimo) delle energie. In pratica, quando un fisico studia un certo sistema si basa su principi primi, come la conservazione dell’energia, ricava equazioni per descrivere quello che succede e inizia a fare esperimenti. Non si sofferma sul fatto che queste equazioni devono avere una coerenza matematica. Però, presupponendo che ci sia una certa relazione tra matematica e realtà, se una cosa non è corretta matematicamente difficilmente potrà esserlo sperimentalmente e quindi alla fine ci vuole un matematico come me per cercare di validare in maniera rigorosa i modelli ricavati in maniera non rigorosa dai fisici.

Il calcolo delle variazioni ha moltissime applicazioni, anche molto diverse tra loro. Una delle sue applicazioni, su cui lavoro, è lo studio delle immagini.

Per quanto riguarda le immagini, di che tipo di energia stiamo parlando?
Immaginiamo un affresco in una chiesa antica, con il colore rovinato in alcune parti, e supponiamo di voler ricostruire l’immagine nelle zone mancanti nel modo più fedele possibile all’originale. Esistono modelli matematici che, basandosi sul colore presente nelle zone “buone” e sull’informazione degradata nella regione rovinata, sono in grado di individuare il miglior modo possibile per restaurare l’affresco. Nella frase “il miglior modo possibile” si inserisce il calcolo delle variazioni.

Questa è la base della tecnica inventata dal matematico Massimo Fornasier per ricostruire in modo coerente i colori mancanti del ciclo pittorico di Andrea Mantegna nella Cappella Ovetari a Padova, distrutta da un bombardamento nel 1944. Per poter consigliare i restauratori, Fornasier ha utilizzato il modello matematico chiamato total variation per cercare di stabilire quale fosse il miglior modo di colorare l’immagine rovinata, tra tutti quelli possibili. In pratica, il modello associa a tutte le immagini finali una certa energia, cioè un numero, che indica quanto il colore è coerente all’originale e quindi quanto quell’immagine è buona per risolvere il problema del restauro. Ecco che si va oltre la sfera della fisica perché anche le immagini hanno un’energia!

Quali fattori sono stati presi in considerazioni per assegnare questo numero?
Ne sono stati scelti tre. Il primo è la fedeltà dei colori proposti rispetto a quelli originali, non solo nel caso di parti mancanti ma anche per migliorare i colori già esistenti, se sbiaditi. Il secondo è una specie di fedeltà ai livelli di grigio. Nelle zone dove non c’è il colore, non è vero che non c’è niente ma ci possono essere sia tracce del colore andato perduto sia livelli di grigio diversi dovuti alla rimozione del colore.

Il terzo rimanda al concetto di semplicità dell’immagine che voglio ottenere, dove per semplice si intende, per esempio, che i contorni dell’immagine abbiano una lunghezza il più piccola possibile. Questo fattore ha sia vantaggi che svantaggi: immaginiamo un’immagine sfuocata, che magari in partenza aveva contorni a zigzag ma ora, avendo perso definizione, risulta irregolare e con un sacco di variazioni di grigio. Per renderla più uniforme, si può semplificare il contorno con una linea retta. Ma se questo zigzag fosse una peculiarità dell’immagine? Facciamo un esempio: la fotografia sfuocata di un prato in cui i fili d’erba creano un contorno a zigzag. Se il modello rendesse diritto tale contorno, l’immagine finale non rispetterebbe il paesaggio originale. L’occhio umano lo capisce, ma un computer non riconosce la differenza tra il primo caso (perdita di definizione) e il secondo (peculiarità della foto).

Il mio lavoro consiste nel descrivere nel modo più accurato possibile dal punto di vista matematico le principali caratteristiche delle immagini ottenute, sfruttando il calcolo delle variazioni. Nella pratica, modifico i diversi parametri del modello e vedo come si comporta. Al momento sto cercando di capire se partendo da un’immagine con un cerchio rosso su sfondo blu e con una piccola zona grigia attorno al cerchio il modello è in grado di riempire quel grigio in modo da restituire l’originale oppure se fa cose pazze e dà tutt’altro risultato. È un po’ come creare un libretto di istruzioni per spiegare come funziona il modello a un futuro utente.

C’è differenza tra un’immagine a colori o in bianco e nero?
In generale la maggior parte degli studi viene fatta solo su immagini in bianco e nero e in scale di grigio perché, sebbene siano matematicamente complicatissime, sono molto più semplici di quelle a colori, dove ci sono tre livelli di intensità invece di uno solo. C’è un’enorme letteratura sulle immagini in grigio, noi stiamo cercando di capire cosa succede con le immagini a colori e abbiamo selezionato il total variation come prototipo di modello semplice.

Quali sono le prospettive future del tuo lavoro?
Si potrebbe cercare di capire cosa succede se ci sono delle direzioni privilegiate, cioè come si comporta il modello in quei casi in cui l’occhio umano nota subito quali dovrebbero essere i contorni di un’immagine. Il computer ovviamente non lo sa fare e quindi si potrebbe pensare di assegnare a certe direzioni un’energia altissima, in modo da penalizzarle.

Un’altra idea è capire quanto può essere danneggiata una regione per riuscire comunque a ricostruire l’immagine di partenza. O la cosa contraria, quanto posso permettermi di deteriorare una figura affinché il modello riesca a ricostruirla. Una possibile applicazione potrebbe essere l’invio di immagini con meno dati possibili: togliendo il colore, renderei una foto più leggera e sarei comunque tranquillo se il modello fosse talmente intelligente da restituire i colori simili all’originale a partire dall’analisi dei grigi.

Leggi anche: La matematica della Coppa America

Pubblicato con licenza Creative Commons Attribuzione-Non opere derivate 2.5 Italia.

3 Commenti su Restaurare un dipinto usando la matematica

  1. In questo modello matematico dovremmo inserire anche la possibilità di inserire la quantificazione di elementi filosofici, etici, fruitivi, … Il restauro scientifico è molto più complesso della quantificazione/selezione cromatica o di pigmentazione.
    Buon pomeriggio.

  2. Non mi hai convinto per niente !

1 Trackback / Pingback

  1. Capire il ciclo cellulare attraverso la matematica – OggiScienza

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